ツヅラフジは、漢字では「葛藤」と書かれます。
ここで言う「葛」は植物の「クズ」ではなく、「葛(かずら)」・・・「蔓(かずら=つる)」と同義語でツル性植物全般を指し、「藤」もここでは同義語(フジのようなツル性植物の意)と思われます。

また、「葛藤」は「かっとう」とも読めます。今日よく使う言葉ですが、ツルが絡み合って解けないことから、物事がもつれて対立する、感情がもつれる・・・などの意味に転用されるようになったようです。

さらに、「葛(つづら)」は「九十九」とも書かれます。
九十九折れ(つづらおれ)・・・道などがクネクネとしてる様子などをツルのクネクネに例えたもののようで、元は「葛折れ」とも書かれたようです。この「葛(つづら)」は本種、若しくは本種の仲間を指すと言われます。

もう１つ、本種はツルが丈夫で加工しやすい特徴を持つことから、古来から籠に編んで使われてきました。これが「葛籠(つづら)」です。古いものでは、奈良・正倉院に本種で編んだ葛籠があるそうです。後に竹製に変わり、衣類の保管用として用いられるようになりましたが、「葛籠(つづら)」の字は今日までそのまま使われ続けています。

以上、Wikipedia、コトバンク を参照して記述しました。