古来より愛されてきたが故に、誤解などにより読みなどが変遷して今日に至っています。好奇心からアバウトにまとめてみました。
(以下、カタカナ表記は現代の種名、ひらがな表記はそれぞれの時代の読み)

セキショウ　：　漢名は「石菖蒲」「菖蒲」。中国で端午の節句に用いられたものはこちら。(古代中国では「菖蒲」はショウブ属を総称して用いられていたようで、最も薬効のあるものは「石菖」と言われ、これを「菖蒲」と狭義的に呼ぶこともあったらしい)

ショウブ　：　漢名は「白菖」「水菖」「菖蒲」。古代中国では、白菖と水菖は別のもので、「菖蒲」は総称のようです。日本古来の和名は「あやめぐさ」。漢の時代に始まった端午の節句を日本でも行うにあたり、「菖蒲」の字が使われ、読みも「しょうぶ」と改められたようです。が、本来セキショウのつもりが誤ってショウブが用いられ、そのまま引き継がれて現代でも日本の端午の節句はこちら。

アヤメ　：　葉がショウブに似ていることから、古来から「はなあやめ」と呼ばれ、「あやめ」とも呼ばれていたたようです。指示によりショウブに「菖蒲」の字がはめられましたが、民衆は「あやめぐさ＝菖蒲」を「はなあやめ＝菖蒲」と誤解し、「菖蒲」も「あやめ」と読まれるようになりました。この「あやめ」にはノハナショウブが含まれるようです。

その後、「あやめ(菖蒲)」は「はなしょうぶ(花菖蒲)」と呼ばれるようになり、江戸時代は「あやめ(菖蒲)」はカキツバタやその他アヤメ属を含めた総称となったようです。その名残が、「菖蒲園」の実態と符号しているように思います。

ノハナショウブ　：　近代に入ってから、アヤメと園芸種が分けられ、園芸種「はなしょうぶ(花菖蒲)」と区別するために「ノ(野)」が付けられたようです。

カキツバタ　：　カキツバタのページ 「杜若」も誤解によるもの　のタブを参照

以上、図書やwebに掲載された記述を参考に、15.4.8 に一部修正させていただきました。